Het vermogen om te winnen

Dit verslag is geschreven naar aanleiding van een vraagstuk van het Solar Team. Het Solar Team Twente heeft het doel om de World Solar Challenge te winnen. Ze ontwerpen en bouwen een zonne-auto om het parcours door Australië af te leggen. Deze zonne-auto ontvangt energie met behulp van zonnecellen. Echter, de capaciteit van de accu is beperkt. Daarom moet er efficiënt met de energie omgegaan worden. Daarentegen moet ook een race gewonnen worden, dus de snelheid moet hoog liggen. Het is voor het opstellen van een goede strategie tijdens de race van belang om te weten hoeveel vermogen (en dus energie) geleverd moet worden om met een bepaalde snelheid te rijden. Ons doel van het onderzoek is het ontwikkelen van een methode die, uit een ruwe dataset van de snelheden ten op zichte van de tijd, een zo nauwkeurig mogelijk verband vindt voor het vermogen bij een bepaalde snelheid. Om dit vraagstuk op te kunnen lossen kijken we eerst naar de theorie. Er bestaan formules voor de krachten die op een (personen)auto werken, waaruit een verband voor het vermogen bij een snelheid kan worden afgeleid. Uit eerder onderzoek is gebleken dat, door de specifieke karaktereigenschappen van de zonne-auto, de formules niet direct toepasbaar zijn. We hebben daarom de formules niet direct toegepast, maar als leidraad gebruikt. We hebben alle constantes in de theoretische formule samengenomen. Hierdoor kunnen we ons probleem specifieker formuleren: we zoeken een polynoom die het verband tussen versnelling en snelheid representeert. De twee datasets die we ontvangen om het verband te bepalen zijn afkomstig van uitroltests van de testauto, mock-up genoemd. De data zet de snelheid tegen de tijd uit. Echter door meetonnauwkeurigheden is deze data niet meteen bruikbaar, maar zullen we deze gladder moeten maken. Hierna willen we uit de gesmoothde snelheden de versnellingen bepalen. Als we de versnellingen hebben bepaald, kunnen we een polynoom vinden voor de versnelling afhankelijk van de snelheid. Ons proces ziet er als volgt uit. Voor het eerste blok, smoothing, hebben we twee methodes getest: het Nearest-neighbor smoothen en de Savitzky-Golay methode. Voor het tweede blok hebben we vier methodes ontwikkeld. Dit zijn twee numerieke methodes, A en B, een analytische methode en een toepassing van de Savitzky-Golay methode. Deze methodes hebben we met elkaar vergeleken en getest. Voor het bepalen van het polynoom gebruiken we lineaire regressie met als schatter de kleinste kwadraten schatter. We hebben in eerste instantie de methodes vergeleken en de aannames gecontroleerd. Hiervoor hebben we de metingen van de eerste dataset van een uitroltest van de mock-up gebruikt. Uit het vergelijken van de vier methodes in combinatie met het smoothen volgt dat de verschillende methodes verschillende polynomen vinden. Om te bepalen welke methode het beste is hebben we een programma geschreven aan de hand van een bekend verband. Dit programma genereert meetwaarden aan de hand van het verband waar een normaalverdeelde fout bij op wordt geteld. Vervolgens hebben we gekeken welke methode het beste in staat is om uit deze datapunten het bekende verband terug te vinden. Het blijkt dat de Savitzky-Golay methode het gezochte verband exact terugvindt en daarom concluderen we dat dit de methode is die we moeten gebruiken om datapunten te smoothen en de versnellingen te bepalen. We zullen met behulp van de bepaalde versnellingen een verband voor de snelheid tegen de versnelling moeten vinden. Uit de literatuur blijkt dat lineaire regressie met als schatter de kleinste kwadratenschatter hiervoor de beste methode is. Onze uiteindelijke methode wordt als volgt weergeven. Uiteindelijk wordt de ontwikkelde methode uitgevoerd op de tweede dataset van de mock-up. Deze dataset bestaat wederom uit snelheidsmetingen tijdens een uitroltest. Het gevonden verband ziet er als volgt uit. P(v) = 11,96v + 3,22v2 + 0,23v3: Dit verband hebben we besproken met het Solar Team Twente en zij veronderstelden dat de orde van grootte van de coëfficiënten realistisch was. Om te bepalen hoeveel data er nodig is om een betrouwbaar verband te krijgen hebben we op de tweede dataset een gevoeligheidsanalyse toegepast. Het blijkt dat bij gegevens van 6 uitroltest, met 80% van de datapunten eenzelfde verband gevonden wordt als bij alle datapunten. Ook blijkt dat dit verband een willekeurige 20% van de datapunten nog steeds goed beschrijft. Ook merken we op dat metingen bij de hoogste en laagste waarde van de snelheid grote invloed hebben op het verband dat gevonden wordt. Een laag aantal ritten is dus voldoende, maar hierbij is het van belang een zo groot mogelijk interval aan snelheden mee te nemen. De conclusie is dat we aan de hand van uitroltests van de mock-up een methode hebben ontwikkeld die uit een ruwe dataset een goed verband vindt voor het vermogen bij een bepaalde snelheid. Dit gebeurt door de Savitzky-Golay methode te gebruiken om uit ruwe datapunten voor de snelheid meteen bruikbare datapunten voor de versnelling te verkrijgen. Met deze datapunten vinden we door gebruik te maken van lineaire regressie met de kleinste kwadraten schatter het verband. Onze methode kan echter meer dan dat. Op datasets die het Solar Team zal verkrijgen met de zonne-auto, zal onze methode toepasbaar zijn om een goed verband te krijgen. Ook als de snelheden veel hoger liggen dan de snelheden waar we nu mee hebben gewerkt en zelfs als het gevonden verband, zoals het Solar Team verwacht, afwijkt van de theorie zal het verband als goed moeten worden beschouwd. Ook zal het mogelijk zijn de wind als variabele mee te nemen, ondanks dat wij de wind als constant hebben beschouwd. Tenslotte hebben we in het statistisch computerprogramma SPSS een syntax gemaakt, waarmee het Solar Team met enkele drukken op de knop het gewenste verband zal vinden. We hebben in een korte handleiding geschreven hoe wij SPSS en Matlab in ons onderzoek hebben gebruikt.